Dopo aver affrontato i problemi della natura dell'intelligenza, delle fasi dello sviluppo, del rapporto tra strutture operatorie dell'intelligenza e strutture matematiche, dobbiamo ora soffermarci ad analizzare l'evoluzione delle nozioni di numero, misura, spazio.
L'esame delle opere di Piaget conduce ad individuare una notevole analogia nel processo di acquisizione della conservazione degli insiemi numerici, delle lunghezze e delle distanze, delle superfici, dei volumi.

In particolare, la genesi del numero ci aiuterà a comprendere la natura dei rapporti tra logica e matematica, naturalmente nella prospettiva genetico-cognitiva di Piaget.

La genesi del numero

Abbiamo avuto occasione di affrontare in altra sede l'argomento del rapporto logica e matematica (1).
Sappiamo che, nell'ambito dell'orientamento mirante alla fondazione logica della matematica, Russel tende a ricondurre il problema della quantificazione della serie dei numeri naturali alla concezione cardinale, ossia alle nozioni di classe e di corrispondenza biunivoca fra gli elementi delle classi.
Si può, infatti, definire il numero cardinale di una classe "A" come quella caratteristica che hanno in comune tutte e solo le classi i cui elementi si possono porre in corrispondenza biunivoca con gli elementi di "A" e, poi, definire in generale il numero cardinale come la caratteristica che hanno in comune fra di loro tutte e solo le classi aventi uguale potenza: il numero cardinale è appunto la classe delle classi equipotenti alla classe del numero cardinale preso in considerazione.
Così: "si dice 'zero' il cardinale degli insiemi vuoti; si dice 'uno' il cardinale degli insiemi costituiti di un singolo elemento; si dice 'due' il cardinale delle coppie; si dice 'tre' il cardinale delle terne, ecc." (2).



A sua volta Peano, nel fondare tutta la matematica sull'aritmetica, tende a ricondurre il medesimo problema della serie dei numeri naturali alla concezione ordinale.
Il logico-matematico italiano aveva conseguito il suo programma di sistemazione rigorosa dell'aritmetica, ossia dell'assiomatizzazione della teoria dei numeri naturali, fondandola sui tre concetti primitivi di zero, numero, successivo e su cinque postulati:
1) zero è un numero;
2) il successivo di ogni numero è un numero;
3) non esistono due numeri con lo stesso successivo;
4) zero non è il successivo di alcun numero;
5) ogni proprietà di cui gode lo zero, e anche il successivo di ciascun numero che gode di quelle proprietà, appartiene a tutti i numeri (3).
La teoria di Peano colloca i numeri naturali in una relazione ordinale, ossia – a voler adoperare il linguaggio della logica simbolica – in una relazione transitiva asimmetrica: posto che tra ogni coppia non identica di numeri naturali vi sia una relazione ‘R’, e posto che tale relazione sia ordinale (a<b, b<c, a<b<c, ecc.), allora la serie completa dei numeri naturali si può ottenere per mezzo del 5° postulato, o legge dell’induzione matematica, un passo dopo l’altro.

Ad entrambe le posizioni delineate si contrappone quella degli intuizionisti, secondo i quali i numeri naturali devono essere accettati senza ulteriore analisi come il fondamento della matematica.
Così, Poincaré aveva sostenuto la tesi che il concetto di numero naturale sarebbe il risultato di un'intuizione razionale pura più profonda della logica, il che equivale ad ammettere che dal punto di vista della formazione psicologica il concetto di numero è anteriore alla logica stessa (4).

I lavori di Piaget per un verso portano a negare l'ipotesi di un'intuizione pura anteriore alla logica del numero, e per l'altro portano ad una sintesi dei punti di vista di Russel e di Peano.
In altri termini, e lo vedremo tra breve, Piaget è d'accordo con Russel sul fatto che è necessaria una organizzazione logica precedente perché il ragazzo acquisisca il numero, ma chiarisce che il numero comporta una sintesi originale tra le operazioni logiche.